居家客服六天被辞退，公司说我不负责任

你提到公司因你居家客服工作不负责任而辞退你，根据《中华人民共和国劳动法》的相关规定，公司辞退员工需有合法依据。若公司无法证明你确实存在不负责任的行为，或该行为未达到严重违反公司规章制度或劳动纪律的程度，那么公司的辞退行为可能违法。在此情况下，你不仅可以向劳动行政部门投诉，还有权要求公司给予经济补偿。具体补偿标准需依据你的工作年限、工资等因素确定。
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从法律角度看，公司不能仅凭口头说你不负责任就辞退你。公司辞退员工需有明确的法律依据和事实依据，如严重违反公司规章制度、劳动纪律等。若公司无法提供充分证据证明你的行为达到辞退标准，其辞退行为可能构成违法解雇，你有权要求公司承担相应法律责任。
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若想通过法律途径维权，你可先收集工作表现证据、辞退通知等关键材料。然后，前往当地劳动行政部门投诉，要求其介入调查。若劳动行政部门认定公司辞退行为违法，你可要求公司改正并赔偿。若公司拒绝，你可考虑申请劳动仲裁或提起诉讼。